微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x \cos (x^{2}) d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.6

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} (\sin (u) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $\sin (x^{2})$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x^{2})}{8} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{8} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 (4)} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 \cdot 4} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$

微积分学 示例

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