微积分学示例

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} = e^{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} = e^{y}$

解题步骤 1.1.2

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x = e^{y} x$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x = e^{y} x$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = e^{y} x$

解题步骤 1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

将 $e^{y} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d y}{d x} = x e^{y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{y}}$ 。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (x e^{y})$

解题步骤 1.3

约去 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} x)$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} x)$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{e^{y}} d y = x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\int 1 e^{- y} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{- y} d y = \int x d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - e^{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int e^{u} d u = \int x d x$

解题步骤 2.2.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- e^{u} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- e^{- y} + C_{1} = \int x d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $e^{- y}$ 除以 $1$ 。

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

移动 $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ 重写为 $- (\frac{1}{2} x^{2})$ 。

$e^{- y} = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{- 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

移动 $\frac{K}{- 1}$ 中分母的负号。

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot K$

解题步骤 3.1.3.1.5

将 $- 1 \cdot K$ 重写为 $- K$ 。

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - K$

解题步骤 3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

解题步骤 3.3

展开左边。

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解题步骤 3.3.1

通过将 $- y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- y})$ 。

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

解题步骤 3.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

解题步骤 3.4

将 $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

移动 $\frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

解题步骤 3.4.3.2

将 $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ 重写为 $- \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ 。

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

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