微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x}$

解题步骤 1.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x^{1}}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{2}}{1}$

解题步骤 1.1.3.1.2.5

用 $- 4 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} - 4 x^{2}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = (\frac{2}{x} - 4 x^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

解题步骤 2.3.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 4 x^{2} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$y + C_{1} = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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