微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

解题步骤 1.1.3.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $\frac{y}{x} + y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $\frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y$

解题步骤 1.2.1.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y^{1}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.4

从 $y \frac{1}{x} + y \cdot 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + 1)$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + \frac{x}{x})$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

解题步骤 3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ 。

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

解题步骤 3.5.2

两边同时乘以 $| x |$ 。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

解题步骤 3.5.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

解题步骤 3.5.3.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{x + C} | x |$

解题步骤 3.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $e^{x + C} | x |$ 中的因式重新排序。

$| y | = | x | e^{x + C}$

解题步骤 3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm | x | e^{x + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{x + C}$ 重写为 $e^{x} e^{C}$ 。

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C | x | e^{x}$

微积分学 示例

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