微积分学示例

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $r θ + r$ 中分解出因数 $r$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $r θ$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

解题步骤 1.1.2

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

解题步骤 1.1.3

从 $r^{1}$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

解题步骤 1.1.4

从 $r (θ) + r \cdot 1$ 中分解出因数 $r$ 。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

解题步骤 1.2

从 $r θ + θ$ 中分解出因数 $θ$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $r θ$ 中分解出因数 $θ$ 。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

解题步骤 1.2.2

对 $θ$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

解题步骤 1.2.3

从 $θ^{1}$ 中分解出因数 $θ$ 。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4

从 $θ r + θ \cdot 1$ 中分解出因数 $θ$ 。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{r + 1}{r}$ 。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{r}{r + 1}$ 乘以 $\frac{θ + 1}{θ}$ 。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

解题步骤 1.5.2

约去 $r + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $(r + 1) θ$ 中分解出因数 $r + 1$ 。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

解题步骤 1.5.3

约去 $r$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.3

约去 $r$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.3.2

重写表达式。

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{r}$ 对 $r$ 的积分为 $\ln (| r |)$ 。

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.6

化简。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.3.3

约去 $θ$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

约去公因数。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.3.3.2

重写表达式。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{θ}$ 对 $θ$ 的积分为 $\ln (| θ |)$ 。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $θ$ ，将 $e$ 代入 $r$ ，在 $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ 。

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

解题步骤 4.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

解题步骤 4.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

解题步骤 4.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

解题步骤 4.5

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

解题步骤 4.6

将 $\frac{1}{e}$ 重写为 $1 e^{- 1}$ 。

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

解题步骤 4.7

将 $\ln (1 e^{- 1})$ 重写为 $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ 。

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

解题步骤 4.8

使用对数规则把 $- 1$ 移到指数外部。

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

解题步骤 4.9

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

解题步骤 4.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

解题步骤 4.11

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$0 - 1 = - 1 - C + e$

解题步骤 4.12

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1 = - 1 - C + e$

解题步骤 4.13

因为 $C$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- 1 - C + e = - 1$

解题步骤 4.14

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.14.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- C + e = - 1 + 1$

解题步骤 4.14.2

从等式两边同时减去 $e$ 。

$- C = - 1 + 1 - e$

解题步骤 4.14.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- C = 0 - e$

解题步骤 4.14.4

从 $0$ 中减去 $e$ 。

$- C = - e$

解题步骤 4.15

将 $- C = - e$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.15.1

将 $- C = - e$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

解题步骤 4.15.2

化简左边。

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解题步骤 4.15.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

解题步骤 4.15.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{- e}{- 1}$

解题步骤 4.15.3

化简右边。

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解题步骤 4.15.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$C = \frac{e}{1}$

解题步骤 4.15.3.2

用 $e$ 除以 $1$ 。

$C = e$

解题步骤 5

代入 $e$ 替换 $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $e$ 替换 $C$ 。

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$

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