微积分学示例

$x y y' = x^{2} + 1$

解题步骤 1

重写微分方程。

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

将 $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ 中的每一项除以 $x y$ 并化简。

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解题步骤 2.1.1

将 $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ 中的每一项都除以 $x y$ 。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.1.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.1.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.1.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.1.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.1.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.2

因数。

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解题步骤 2.2.1

要将 $\frac{x}{y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y x$ 的形式。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{x}{y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.2.2.2

重新排序 $y x$ 的因式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

解题步骤 2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

解题步骤 2.2.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

解题步骤 2.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 2.4

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{x^{2} + 1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

解题步骤 2.5.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

解题步骤 2.6

重写该方程。

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 3.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将分数分解成多个分数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.3.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.3.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.3.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 3.3.6

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 4.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

重写表达式。

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 4.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

解题步骤 4.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 4.5

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 4.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 4.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 4.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 5

化简积分常数。

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

微积分学 示例

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