微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

拆分 $\frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

解题步骤 1.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

解题步骤 1.2

从 $\frac{y}{2 x}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $\frac{y}{2 x}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x}{2 y}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

解题步骤 1.3

将微分方程重写为 $f (\frac{y}{x})$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{x}{2 y}$ 中因式分解出 $\frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $\frac{x}{2 y}$ 中分解出因数 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 1.3.1.2

将 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

解题步骤 6.1.1.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

解题步骤 6.1.1.1.3

将 $\frac{1}{V}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

解题步骤 6.1.1.1.4

将 $2$ 移到 $V$ 的左侧。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}$

解题步骤 6.1.1.2

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

要将 $- V$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3

化简项。

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解题步骤 6.1.1.3.3.3.1

组合 $- V$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1

从 $V - V \cdot 2$ 中分解出因数 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

从 $V^{1}$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

从 $- V \cdot 2$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

从 $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $V$ 的左侧。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.3.3.4.1

从 $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.4.1.1

将 $- \frac{1}{2 V}$ 和 $- \frac{V}{2}$ 重新排序。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.1.2

从 $- \frac{V}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.1.3

从 $- \frac{1}{2 V}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.1.4

从 $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.2

要将 $\frac{V}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.3

将 $\frac{V}{2}$ 乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.5

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.6

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

解题步骤 6.1.1.3.3.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

解题步骤 6.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ 。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4.2

将 $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

解题步骤 6.1.4.3

约去 $2 V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.3.1

将 $- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

解题步骤 6.1.4.3.2

从 $- 2 V$ 中分解出因数 $2 V$ 。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

解题步骤 6.1.4.3.3

从 $2 V x$ 中分解出因数 $2 V$ 。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

解题步骤 6.1.4.3.4

约去公因数。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

解题步骤 6.1.4.3.5

重写表达式。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

解题步骤 6.1.4.4

约去 $V^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

解题步骤 6.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

由于 $2$ 对于 $V$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

使 $u = V^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 V d V$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = V d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.2.1

设 $u = V^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

对 $V^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

根据加法法则， $V^{2} + 1$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ 。

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

解题步骤 6.2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

解题步骤 6.2.2.2.1.4

因为 $1$ 对于 $V$ 是常数，所以 $1$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$2 V + 0$

解题步骤 6.2.2.2.1.5

将 $2 V$ 和 $0$ 相加。

$2 V$

解题步骤 6.2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

化简。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

化简。

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解题步骤 6.2.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.5.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5.3

将 $\int \frac{1}{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

使用 $V^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

解题步骤 6.3.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

解题步骤 6.3.3

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

解题步骤 6.3.4

运用分配律。

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

解题步骤 6.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

解题步骤 6.3.6

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

解题步骤 6.3.7

使用对数的定义将 $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

解题步骤 6.3.8

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.8.1

将方程重写为 $| V^{2} x + x | = e^{C}$ 。

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

解题步骤 6.3.8.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

解题步骤 6.3.8.3

从等式两边同时减去 $x$ 。

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

解题步骤 6.3.8.4

将 $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.3.8.4.1

将 $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

解题步骤 6.3.8.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.8.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.8.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

解题步骤 6.3.8.4.2.1.2

用 $V^{2}$ 除以 $1$ 。

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

解题步骤 6.3.8.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.8.4.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.8.4.3.1.1

约去公因数。

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

解题步骤 6.3.8.4.3.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

解题步骤 6.3.8.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

解题步骤 6.3.8.6

化简 $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ 。

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解题步骤 6.3.8.6.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

解题步骤 6.3.8.6.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

解题步骤 6.3.8.6.3

在公分母上合并分子。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

解题步骤 6.3.8.6.4

将 $\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 6.3.8.6.5

将 $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 6.3.8.6.6

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.8.6.6.1

将 $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 6.3.8.6.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.8.6.6.6.4.1

约去公因数。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.6.4.2

重写表达式。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

解题步骤 6.3.8.6.6.6.5

化简。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 6.3.8.6.7

使用根数乘积法则进行合并。

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

解题步骤 6.3.8.6.8

将 $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ 中的因式重新排序。

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

解题步骤 6.4

化简积分常数。

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

解题步骤 8.2.1.2

重写表达式。

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

微积分学 示例

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