微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$ , $y (1) = 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{\ln (x)}{x}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.3.1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln^{2} (x)$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

重写表达式。

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

解题步骤 5

由于 $y$ 在初始条件 $(1, 2)$ 中为正，所以只考虑用 $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ 来求 $K$ 。将 $1$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ 。

$2 = \sqrt{\ln^{2} (1) + K}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$ 。

$\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$

解题步骤 6.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\ln^{2} (1) + K}}^{2} = 2^{2}$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\ln^{2} (1) + K}$ 重写成 ${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(\ln^{2} (1) + K)}^{1} = 2^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

${(0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.3

通过加上各个零进行化简。

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解题步骤 6.3.2.1.3.1

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K^{1} = 2^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.3.2

化简。

$K = 2^{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$K = 4$

解题步骤 7

代入 $4$ 替换 $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $4$ 替换 $K$ 。

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 4}$

微积分学 示例

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