微积分学示例

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从 $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ 中分解出因数 $u t^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $u t^{2}$ 中分解出因数 $u t^{2}$ 。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $u^{4} t^{2}$ 中分解出因数 $u t^{2}$ 。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ 中分解出因数 $u t^{2}$ 。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

解题步骤 1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

解题步骤 1.1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = u$ 。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

解题步骤 1.1.4

因数。

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解题步骤 1.1.4.1

化简。

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解题步骤 1.1.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

解题步骤 1.1.4.1.2

将 $- 1 u$ 重写为 $- u$ 。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

解题步骤 1.1.4.2

去掉多余的括号。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.2

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.3

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.5

合并 $u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.4.5.1

按照 $u \cdot u^{2}$ 和 $u^{2} (- u)$ 重新排列因数。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.5.2

从 $u^{2} u$ 中减去 $u^{2} u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.5.3

将 $u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ 和 $0$ 相加。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.6

化简每一项。

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解题步骤 1.4.6.1

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.6.3

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 1.4.6.3.1

移动 $u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.6.3.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.6.4

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.6.5

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.6.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.6.5.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.7

合并 $u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.4.7.1

将 $- u^{2}$ 和 $u^{2}$ 相加。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.7.2

将 $u$ 和 $0$ 相加。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

解题步骤 1.4.8

将 $\frac{7 + t^{4}}{t^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{7 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

解题步骤 1.4.9

去掉圆括号。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{7 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.10

将 $u + u^{4}$ 乘以 $\frac{7 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.11

化简分子。

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解题步骤 1.4.11.1

从 $u + u^{4}$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 1.4.11.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.11.1.2

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.11.1.3

从 $u^{4}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.11.1.4

从 $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.11.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.11.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.11.4

化简。

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解题步骤 1.4.11.4.1

一的任意次幂都为一。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.11.4.2

将 $- 1 u$ 重写为 $- u$ 。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.12

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.12.1

约去公因数。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.12.2

重写表达式。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (7 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.13

约去 $1 + u$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.13.1

约去公因数。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.13.2

重写表达式。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.14

约去 $1 - u + u^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.14.1

约去公因数。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

解题步骤 1.4.14.2

重写表达式。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.2

运用分配律。

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.3

运用分配律。

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.4

运用分配律。

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.5

运用分配律。

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.6

运用分配律。

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.7

将 $u$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.8

移动 $u$ 。

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.9

将 $u$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.10

移动 $u$ 。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.11

将 $u$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.12

移动 $u$ 。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.13

将 $u$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.14

移动 $u$ 。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.15

将 $u$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.16

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.17

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.18

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.19

提取负因数。

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.20

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.21

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.24

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.25

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.26

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.27

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.28

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.29

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.30

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.31

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.32

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.33

提取负因数。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.34

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.35

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.36

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.37

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.38

提取负因数。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.39

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.40

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.41

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.42

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.43

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.44

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.45

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.46

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.47

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.48

将 $u$ 和 $- u^{2}$ 重新排序。

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.49

移动 $u$ 。

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.50

将 $- u^{2}$ 和 $u^{3}$ 重新排序。

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.51

将 $u^{2}$ 和 $- u^{3}$ 重新排序。

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.52

移动 $u^{2}$ 。

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.53

将 $- u^{3}$ 和 $u^{4}$ 重新排序。

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.54

移动 $u$ 。

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.55

移动 $- u^{2}$ 。

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.56

将 $u^{3}$ 和 $u^{4}$ 重新排序。

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.57

从 $u^{3}$ 中减去 $u^{3}$ 。

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.58

将 $u^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.59

从 $u^{2}$ 中减去 $u^{2}$ 。

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.60

将 $u^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $t^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(t^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.2

乘以 $(7 + t^{4}) t^{- 2}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.3

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

解题步骤 2.3.3.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{2} d t$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

解题步骤 2.3.5

由于 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $t^{- 2}$ 对 $t$ 的积分是 $- t^{- 1}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- t^{- 1} + C_{4}) + \int t^{2} d t$

解题步骤 2.3.7

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- t^{- 1} + C_{4}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

化简。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- \frac{1}{t}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

解题步骤 2.3.8.2

化简。

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解题步骤 2.3.8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - 7 \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

解题步骤 2.3.8.2.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{- 7}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

解题步骤 2.3.8.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{7}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

解题步骤 2.3.9

重新排序项。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{7}{t} + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{7}{t} + K$

微积分学 示例

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