微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x y$ 。

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - x d x}$

解题步骤 2.2

对 $- x$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int x d x}$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

解题步骤 2.2.3

将 $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

解题步骤 2.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

解题步骤 3.3

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

使 $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = - x d x$ ，以便 $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1.1

设 $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

对 $- \frac{x^{2}}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 7.1.1.2

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 7.1.1.4

化简项。

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解题步骤 7.1.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

解题步骤 7.1.1.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 2}{2} x$

解题步骤 7.1.1.4.3

组合 $\frac{- 2}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2}$

解题步骤 7.1.1.4.4

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.4.4.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2}$

解题步骤 7.1.1.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.1.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

解题步骤 7.1.1.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.1.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- x}{1}$

解题步骤 7.1.1.4.4.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$- x$

解题步骤 7.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7.2

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = e^{u_{1}}$ ， $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.3.2.2

约去公因数。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.3.2.3

重写表达式。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.4

组合 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.5

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.6

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.8

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.8.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.8.2.2

约去公因数。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.8.2.3

重写表达式。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.9

组合 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.4.10

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

解题步骤 7.5

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

解题步骤 7.6

化简。

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解题步骤 7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

解题步骤 7.6.2

将 $\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

解题步骤 7.7

由于 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 移到积分外。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7.8

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

解题步骤 7.9

化简。

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解题步骤 7.9.1

将 $- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ 重写为 $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 7.9.2

化简。

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解题步骤 7.9.2.1

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 7.9.2.2

组合 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 7.9.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 7.9.2.4

组合 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

解题步骤 7.9.2.5

将 $- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ 相加。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

解题步骤 7.9.2.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

解题步骤 7.9.2.7

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

解题步骤 8

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ 中的每一项除以 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ 中的每一项都除以 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

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