微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 + \sqrt{x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $- \frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 2 + \sqrt{x}$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $- \frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 + \sqrt{x}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{1}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 1}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.2.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.2.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 7.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 7.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

解题步骤 7.4

化简表达式。

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解题步骤 7.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

解题步骤 7.4.2

化简。

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解题步骤 7.4.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 7.4.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.4.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.4.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 7.4.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 7.4.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 7.4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

解题步骤 7.4.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 7.4.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.4.3.1

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.4.3.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.4.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.4.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 7.4.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7.5

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 7.6

化简。

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8.2.2

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8.3

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

解题步骤 8.4.1.1.2

重写表达式。

$y = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

解题步骤 8.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.1

化简 $(\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1

运用分配律。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{1}{2}} x + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + C x$

解题步骤 8.4.2.1.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

解题步骤 8.4.2.1.3

将 $\ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$ 中的因式重新排序。

$y = x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

解题步骤 8.4.2.1.4

移动 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 。

$y = x \ln (x^{2}) + C x + 2 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.5

将 $x \ln (x^{2})$ 和 $C x$ 重新排序。

$y = C x + x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}}$

微积分学 示例

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