微积分学示例

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

解题步骤 1.2

因为 $e^{x^{3}}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ 对 $y$ 的导数是 $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $3 x^{2} y - x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

解题步骤 1.4

因为 $3 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x^{2} y$ 对 $y$ 的导数是 $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

解题步骤 1.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

解题步骤 1.7

因为 $- x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

解题步骤 1.8

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

解题步骤 1.9

化简。

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解题步骤 1.9.1

重新排序 $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ 的因式。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

解题步骤 1.9.2

将 $3 e^{x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = e^{x^{3}}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

重新排序 $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ 的因式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

解题步骤 2.4.2

将 $3 e^{x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 x^{2} e^{x^{3}}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $3 x^{2} e^{x^{3}}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = e^{x^{3}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $e^{x^{3}} y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e^{x^{3}} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.3.2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 8.5.2

将 $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简 $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ 。

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解题步骤 9.1.1.1

重写。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 9.1.1.2

通过加上各个零进行化简。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

解题步骤 9.1.1.3

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

解题步骤 9.1.1.4

重新排序。

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解题步骤 9.1.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

解题步骤 9.1.1.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

解题步骤 9.1.1.4.3

将 $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 9.1.2

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.2.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

解题步骤 9.1.2.2

合并 $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.2.1

从 $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ 中减去 $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

解题步骤 9.1.2.2.2

将 $- x^{2} e^{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 10

求 $- x^{2} e^{x^{3}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

解题步骤 10.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

解题步骤 10.4

使 $u_{2} = e^{x^{3}}$ 。然后使 $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.4.1

设 $u_{2} = e^{x^{3}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.4.1.1

对 $e^{x^{3}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

解题步骤 10.4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 10.4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 10.4.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 10.4.1.2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 10.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

解题步骤 10.4.1.4

化简。

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解题步骤 10.4.1.4.1

重新排序 $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ 的因式。

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

解题步骤 10.4.1.4.2

将 $3 e^{x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 10.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 10.5

应用常数不变法则。

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

解题步骤 10.6

化简答案。

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解题步骤 10.6.1

将 $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ 。

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

解题步骤 10.6.2

使用 $e^{x^{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

解题步骤 12

化简 $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ 。

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解题步骤 12.1

组合 $e^{x^{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.2

从 $e^{x^{3}} y$ 中减去 $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ 。

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解题步骤 12.2.1

将 $e^{x^{3}}$ 和 $y$ 重新排序。

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.2.2

要将 $y e^{x^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.2.3

组合 $y e^{x^{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.2.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.3

化简分子。

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解题步骤 12.3.1

将 $3$ 移到 $y e^{x^{3}}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.3.2

从 $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ 中分解出因数 $e^{x^{3}}$ 。

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解题步骤 12.3.2.1

从 $3 y e^{x^{3}}$ 中分解出因数 $e^{x^{3}}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.3.2.2

从 $- e^{x^{3}}$ 中分解出因数 $e^{x^{3}}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

解题步骤 12.3.2.3

从 $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{x^{3}}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$

微积分学 示例

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