微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - 2 + e^{2 x + y - 1}$

解题步骤 1

使 $v = e^{2 x + y - 1}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $e^{2 x + y - 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 2 + v$

解题步骤 2

通过对 $e^{2 x + y - 1}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x + y - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + y - 1$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

解题步骤 2.1.3

使用 $2 x + y - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 x + y - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.6

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + 0)$

解题步骤 2.8

将 $2 + y'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y')$

解题步骤 3

代入 $v$ 替换 $e^{2 x + y - 1}$ 。

$\frac{d v}{d x} = v (2 + y')$

解题步骤 4

将导数代回微分方程。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 = - 2 + v$

解题步骤 5

分离变量。

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解题步骤 5.1

求解 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

将所有不包含 $\frac{d v}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 + v + 2$

解题步骤 5.1.1.2

合并 $- 2 + v + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v + 0$

解题步骤 5.1.1.2.2

将 $v$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v$

解题步骤 5.1.2

两边同时乘以 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.3.1.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

解题步骤 5.1.3.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = v \cdot v$

解题步骤 5.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.2.1

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} = v^{2}$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $\frac{1}{v^{2}}$ 。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

解题步骤 5.3

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = 1$

解题步骤 5.4

重写该方程。

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d x$

解题步骤 6

对两边积分。

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解题步骤 6.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d x$

解题步骤 6.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.1.1

通过将 $v^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.1.2

将 ${(v^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int v^{- 2} d v = \int d x$

解题步骤 6.2.2

根据幂法则， $v^{- 2}$ 对 $v$ 的积分是 $- v^{- 1}$ 。

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 6.2.3

将 $- v^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{v} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 6.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{v} + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 6.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{v} = x + K$

解题步骤 7

求解 $v$ 。

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解题步骤 7.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 7.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$v, 1, 1$

解题步骤 7.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$v$

解题步骤 7.2

将 $- \frac{1}{v} = x + K$ 中的每一项乘以 $v$ 以消去分数。

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解题步骤 7.2.1

将 $- \frac{1}{v} = x + K$ 中的每一项乘以 $v$ 。

$- \frac{1}{v} v = x v + K v$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{v}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

解题步骤 7.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

解题步骤 7.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = x v + K v$

解题步骤 7.3

求解方程。

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解题步骤 7.3.1

将方程重写为 $x v + K v = - 1$ 。

$x v + K v = - 1$

解题步骤 7.3.2

从 $x v + K v$ 中分解出因数 $v$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $x v$ 中分解出因数 $v$ 。

$v x + K v = - 1$

解题步骤 7.3.2.2

从 $K v$ 中分解出因数 $v$ 。

$v x + v K = - 1$

解题步骤 7.3.2.3

从 $v x + v K$ 中分解出因数 $v$ 。

$v (x + K) = - 1$

解题步骤 7.3.3

将 $v (x + K) = - 1$ 中的每一项除以 $x + K$ 并化简。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $v (x + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $x + K$ 。

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

解题步骤 7.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.3.2.1

约去 $x + K$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

解题步骤 7.3.3.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{- 1}{x + K}$

解题步骤 7.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$v = - \frac{1}{x + K}$

解题步骤 8

使用 $e^{2 x + y - 1}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$e^{2 x + y - 1} = - \frac{1}{x + K}$

解题步骤 9

求解 $y$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 x + y - 1}) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

解题步骤 9.2

展开左边。

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解题步骤 9.2.1

通过将 $2 x + y - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 x + y - 1})$ 。

$(2 x + y - 1) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

解题步骤 9.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(2 x + y - 1) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

解题步骤 9.2.3

将 $2 x + y - 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x + y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

解题步骤 9.3

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.3.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x$

解题步骤 9.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x + 1$

微积分学 示例

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