微积分学示例

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = - 2 x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 + y}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} = - 2 x$

解题步骤 1.1.2

两边同时乘以 $2 + y$ 。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} (2 + y) = - 2 x (2 + y)$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $2 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} (2 + y) = - 2 x (2 + y)$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

重写表达式。

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x (2 + y)$

解题步骤 1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

化简 $- 2 x (2 + y)$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

运用分配律。

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x \cdot 2 - 2 x y$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.2.1.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 4 x - 2 x y$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2

将 $- 4 x$ 和 $- 2 x y$ 重新排序。

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$

解题步骤 1.1.4

将 $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$ 中的每一项除以 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$ 中的每一项都除以 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

化简项。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.2

将 $\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.1

将 $\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.3.6.5

化简。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.5

将 $\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.1

将 $\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.6.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.6.4.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.6.6.5

化简。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}} - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.4.3.2.1

从 $- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}} - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}$ 中分解出因数 $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.4.3.2.1.1

从 $- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}}$ 中分解出因数 $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.2.1.2

从 $- 4 x \sqrt{1 + x^{2}}$ 中分解出因数 $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 2)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.2.1.3

从 $2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 2)$ 中分解出因数 $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y - 2)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- y - 2)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1.4.3.3.1

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 2)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.3.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1 (2))}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.3.3

从 $- (y) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y + 2))}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.3.3.4.1

将 $- (y + 2)$ 重写为 $- 1 (y + 2)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 (y + 2))}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.4.3.3.4.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x \sqrt{1 + x^{2}}) (y + 2)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 2}$ 。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (- \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 2} (\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

解题步骤 1.4.2

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $- \frac{1}{y + 2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} (\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

解题步骤 1.4.2.2

从 $\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2)$ 中分解出因数 $y + 2$ 。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

解题步骤 1.4.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

解题步骤 1.4.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = y + 2$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = y + 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.4

使 $u_{2} = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.4.1

设 $u_{2} = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.3.4.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.4.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.4.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 2.3.4.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

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解题步骤 2.3.7.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.1.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.1.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.2.2.2

约去公因数。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.2.2.3

重写表达式。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.3

化简。

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解题步骤 2.3.7.3.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.3.2

通过指数相加将 $u_{2}$ 乘以 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.7.3.2.1

将 $u_{2}$ 乘以 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.7.3.2.1.1

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.3.2.3

在公分母上合并分子。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.3.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.7.4.1

通过将 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.4.2

将 ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.7.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.4.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.8

根据幂法则， ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.9

化简。

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解题步骤 2.3.9.1

将 $- (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $- 1 \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 1 \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.10

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 2 |) = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y + 2 |) = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 2 |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y + 2 | = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ 。

$| y + 2 | = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y + 2 = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

解题步骤 3.3.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 2$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ 重写为 $e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 2$

解题步骤 4.2

将 $e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2$

微积分学 示例

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