微积分学示例

$(x - 4) y^{4} d x - x^{3} (y^{2} - 3) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(x - 4) y^{4} d x$ 。

$- x^{3} (y^{2} - 3) d y = - (x - 4) y^{4} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{3} y^{4}}$ 。

$\frac{1}{x^{3} y^{4}} (- x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{x^{3} y^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.2.2

从 $x^{3} y^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- 1}{x^{3} (y^{4})} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\frac{- 1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.2.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{y^{4}} (y^{2} - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y^{4}} (y^{2} - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$(- \frac{1}{y^{4}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.5

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{1}{y^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$(\frac{- 1}{y^{4}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.5.2

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$(\frac{- 1}{y^{2} y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.5.3

约去公因数。

$(\frac{- 1}{y^{2} y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.5.4

重写表达式。

$(\frac{- 1}{y^{2}} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.6

乘以 $- \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$(\frac{- 1}{y^{2}} + 3 \frac{1}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.6.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$(\frac{- 1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.8

使用乘法的交换性质重写。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = - \frac{1}{x^{3} y^{4}} ((x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.9

约去 $y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.1

将 $- \frac{1}{x^{3} y^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{x^{3} y^{4}} ((x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.9.2

从 $x^{3} y^{4}$ 中分解出因数 $y^{4}$ 。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} ((x - 4) y^{4}) d x$

解题步骤 3.9.3

从 $(x - 4) y^{4}$ 中分解出因数 $y^{4}$ 。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} (y^{4} (x - 4)) d x$

解题步骤 3.9.4

约去公因数。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} (y^{4} (x - 4)) d x$

解题步骤 3.9.5

重写表达式。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{x^{3}} (x - 4) d x$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = - \frac{1}{x^{3}} (x - 4) d x$

解题步骤 3.11

运用分配律。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (- \frac{1}{x^{3}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

解题步骤 3.12

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.12.1

将 $- \frac{1}{x^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{3}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

解题步骤 3.12.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{2}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

解题步骤 3.12.3

约去公因数。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{2}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

解题步骤 3.12.4

重写表达式。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

解题步骤 3.13

乘以 $- \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 3.13.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}) d x$

解题步骤 3.13.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}) d x$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int - \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.2

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.3.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.3.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.4

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.5

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.6.1

通过将 $y^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.6.2

将 ${(y^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.6.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.7

根据幂法则， $y^{- 4}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ 。

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8

化简。

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解题步骤 4.2.8.1

化简。

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解题步骤 4.2.8.1.1

组合 $y^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 3}$ 移动到分母。

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.2

化简。

$- - \frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3

化简。

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解题步骤 4.2.8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{y} - 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 y^{3}}$ 。

$\frac{1}{y} + \frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.5

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.3.5.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.8.3.5.2.1

从 $3 y^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} + \frac{- 1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.8.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3.3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3.4

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3.5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3.6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.6.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.6.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.6.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 4.3.7

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{5})$

解题步骤 4.3.8

化简。

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解题步骤 4.3.8.1

化简。

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解题步骤 4.3.8.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{5})$

解题步骤 4.3.8.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5})$

解题步骤 4.3.8.2

化简。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - - \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3

化简。

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解题步骤 4.3.8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3.5

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.8.3.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.8.3.5.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C_{6}$

解题步骤 4.3.8.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + K$

微积分学 示例

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