微积分学示例

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$ 中的每一项都除以 $x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 1.2

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 1.3

从 $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 1.4

将 $y$ 和 $\frac{x + 2}{x + 1}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{x + 2}{x + 1}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

用 $x + 2$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$2$

解题步骤 2.2.1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

解题步骤 2.2.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

解题步骤 2.2.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 1$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

解题步骤 2.2.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

解题步骤 2.2.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2.4

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.4.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.2.4.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.6

化简。

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.7

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{x + \ln (x + 1)}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 。

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{x + 2}{x + 1}$ 和 $y$ 。

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.2.2

组合 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 和 $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ 。

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.3

要将 $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

从 $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ 中分解出因数 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ 中分解出因数 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.5.1.2

从 $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ 中分解出因数 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ 中分解出因数 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.5.4

运用分配律。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

解题步骤 3.6

乘以 $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ 。

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解题步骤 3.6.1

组合 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 和 $\frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

解题步骤 3.6.2

通过指数相加将 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

解题步骤 3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

解题步骤 3.6.2.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

解题步骤 3.6.2.4

将 $0$ 和 $\ln (x + 1)$ 相加。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

重写。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

解题步骤 3.7.2

通过指数相加将 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

解题步骤 3.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

解题步骤 3.7.2.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

解题步骤 3.7.2.4

将 $0$ 和 $\ln (x + 1)$ 相加。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

解题步骤 3.7.3

去掉多余的括号。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2 x}{x + 1}$

解题步骤 3.7.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

解题步骤 3.8

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1

约去公因数。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

解题步骤 3.8.2

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

解题步骤 3.9

将 $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2 x$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 x d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 x d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 \int x d x$

解题步骤 7.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 7.3

化简答案。

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解题步骤 7.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2

化简。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 1 x^{2} + C$

解题步骤 7.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$

解题步骤 8

将 $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ 中的每一项除以 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{x + \ln (x + 1)}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

微积分学 示例

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