微积分学示例

$x^{2} y^{2} d y = (y + 1) d x$

解题步骤 1

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

解题步骤 2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

解题步骤 2.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{y + 1}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

解题步骤 2.3

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $x^{2} (y + 1)$ 中分解出因数 $y + 1$ 。

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

解题步骤 2.3.3

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y^{2}}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

对左边积分。

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解题步骤 3.2.1

用 $y^{2}$ 除以 $y + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

解题步骤 3.2.1.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

解题步骤 3.2.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	+	$y$

解题步骤 3.2.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} + y$ 中的所有符号

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$

解题步骤 3.2.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

解题步骤 3.2.1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

解题步骤 3.2.1.7

将被除数中的最高阶项 $- y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

解题步骤 3.2.1.8

将新的商式项乘以除数。

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					-	$y$	-	$1$

解题步骤 3.2.1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- y - 1$ 中的所有符号

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$

解题步骤 3.2.1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$
							+	$1$

解题步骤 3.2.1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int y - 1 + \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.5

使 $u = y + 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.2.5.1

设 $u = y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 3.2.5.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 3.2.5.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.2.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.2.5.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.2.5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.7

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2.8

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{- 2} d x$

解题步骤 3.3.2

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - x^{- 1} + C_{5}$

解题步骤 3.3.3

将 $- x^{- 1} + C_{5}$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C_{5}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{x} + C_{5}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$

微积分学 示例

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