微积分学示例

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

解题步骤 1.2

对 $- \frac{1}{2 t}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

解题步骤 1.2.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

解题步骤 1.2.3

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

解题步骤 1.2.4

化简。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

解题步骤 1.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$t^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{d z}{d t}$ 。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2 t}$ 和 $z$ 。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.4

乘以 $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $\frac{z}{2 t}$ 乘以 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.4.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

移动 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.4.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.4.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

解题步骤 5

对左边积分。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

$0$ 对 $t$ 的积分为 $0$ 。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

解题步骤 6.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

解题步骤 7

求解 $z$ 。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 和 $z$ 。

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

解题步骤 7.2

两边同时乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.3

化简左边。

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解题步骤 7.3.1

约去 $t^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1

约去公因数。

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

重写表达式。

$z = C t^{\frac{1}{2}}$

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