微积分学示例

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 1

重写微分方程。

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 2

使 $v = y^{2}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $y^{2}$ 。

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

解题步骤 3

通过对 $y^{2}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

解题步骤 4

将导数代回微分方程。

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解题步骤 4.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

解题步骤 5

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $v$ 。

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

解题步骤 5.2

将 $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

解题步骤 5.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

解题步骤 5.3.2

用 $\frac{d v}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

解题步骤 5.4

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

解题步骤 5.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.3

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.4

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

解题步骤 5.4.2.5

用 $- 2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

解题步骤 5.5

从 $\frac{- v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

解题步骤 5.6

将 $v$ 和 $\frac{- 1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

解题步骤 6

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{- 1}{x}$ 。

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解题步骤 6.1

建立积分。

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

解题步骤 6.2

对 $\frac{- 1}{x}$ 积分。

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解题步骤 6.2.1

将分数分解成多个分数。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.2.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.2.4

化简。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 6.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 6.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 6.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 1}$

解题步骤 6.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 7

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 7.1

每一项乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d v}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2.4

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2.5

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ 。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $\frac{v}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 7.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

解题步骤 7.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

解题步骤 7.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

解题步骤 7.5.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

解题步骤 7.5.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

解题步骤 8

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

解题步骤 9

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

解题步骤 10

对左边积分。

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

解题步骤 11

对右边积分。

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解题步骤 11.1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

解题步骤 11.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 11.3

化简答案。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2

化简。

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解题步骤 11.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

解题步骤 11.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

解题步骤 12

求解 $v$ 。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

解题步骤 12.2

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

化简左边。

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解题步骤 12.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

解题步骤 12.3.1.1.2

重写表达式。

$v = (- x^{2} + C) x$

解题步骤 12.3.2

化简右边。

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解题步骤 12.3.2.1

化简 $(- x^{2} + C) x$ 。

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解题步骤 12.3.2.1.1

运用分配律。

$v = - x^{2} x + C x$

解题步骤 12.3.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.3.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

解题步骤 12.3.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

解题步骤 12.3.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v = - x^{1 + 2} + C x$

解题步骤 12.3.2.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$v = - x^{3} + C x$

解题步骤 13

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$y^{2} = - x^{3} + C x$

解题步骤 14

求解 $y$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

解题步骤 14.2

从 $- x^{3} + C x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 14.2.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

解题步骤 14.2.2

从 $C x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

解题步骤 14.2.3

从 $x (- x^{2}) + x C$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

解题步骤 14.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 14.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

解题步骤 14.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

解题步骤 14.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

微积分学 示例

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