微积分学示例

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 13 \sin (2 t)$ , $y (0) = 6$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 3$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 3 d t}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{3 t + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{3 t}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{3 t}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{3 t}$ 。

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

解题步骤 2.4

将 $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$ 中的因式重新排序。

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{3 t} y = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $13$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $13$ 移到积分外。

$e^{3 t} y = 13 \int e^{3 t} \sin (2 t) d t$

解题步骤 6.2

将 $e^{3 t}$ 和 $\sin (2 t)$ 重新排序。

$e^{3 t} y = 13 \int \sin (2 t) e^{3 t} d t$

解题步骤 6.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (2 t)$ ， $d v = e^{3 t}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (2 \cos (2 t)) d t)$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 移到积分外。

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

解题步骤 6.5

合并分数。

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解题步骤 6.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 t}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

解题步骤 6.5.2

组合 $\sin (2 t)$ 和 $\frac{e^{3 t}}{3}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

解题步骤 6.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

解题步骤 6.5.4

将 $e^{3 t}$ 和 $\cos (2 t)$ 重新排序。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int \cos (2 t) e^{3 t} d t))$

解题步骤 6.6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (2 t)$ ， $d v = e^{3 t}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (- 2 \sin (2 t)) d t)))$

解题步骤 6.7

由于 $\frac{1}{3} \cdot - 2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} \cdot - 2$ 移到积分外。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

解题步骤 6.8

化简项。

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解题步骤 6.8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 t}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

解题步骤 6.8.2

组合 $\cos (2 t)$ 和 $\frac{e^{3 t}}{3}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

解题步骤 6.8.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

解题步骤 6.8.4

运用分配律。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

解题步骤 6.8.5

将 $\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{3 \cdot 3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

解题步骤 6.8.6

乘。

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解题步骤 6.8.6.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

解题步骤 6.8.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + 1 (\frac{2}{3}) (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

解题步骤 6.8.6.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{2}{3} (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

解题步骤 6.8.7

将 $\frac{- 2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

解题步骤 6.8.8

乘。

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解题步骤 6.8.8.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

解题步骤 6.8.8.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

解题步骤 6.9

求解 $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ ，我们发现 $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ = $\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

解题步骤 6.10

化简答案。

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解题步骤 6.10.1

化简。

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解题步骤 6.10.1.1

将 $2$ 移到 $\cos (2 t) e^{3 t}$ 的左侧。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cdot (\cos (2 t) e^{3 t})}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

解题步骤 6.10.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{13}{9}$ 。

$e^{3 t} y = 13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$

解题步骤 6.10.2

将 $13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$ 重写为 $13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.3

化简。

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解题步骤 6.10.3.1

将 $9$ 移到 $\sin (2 t) e^{3 t}$ 的左侧。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \cdot (\sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.3.2

将 $3$ 乘以 $13$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \sin (2 t) e^{3 t}}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.3.3

约去 $9$ 和 $39$ 的公因数。

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解题步骤 6.10.3.3.1

从 $9 \sin (2 t) e^{3 t}$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.10.3.3.2.1

从 $39$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 (13)} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.3.3.2.2

约去公因数。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.3.3.2.3

重写表达式。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.3.4

将负号移到分数的前面。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.4

化简。

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解题步骤 6.10.4.1

将 $\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13}$ 中的因式重新排序。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 6.10.4.2

将 $\frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ 中的因式重新排序。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3}{13} e^{3 t} \sin (2 t) - \frac{2}{13} e^{3 t} \cos (2 t)) + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1

乘以 $\frac{3}{13} (e^{3 t} \sin (2 t))$ 。

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解题步骤 7.1.1.1.1

组合 $e^{3 t}$ 和 $\frac{3}{13}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13} \sin (2 t) - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

解题步骤 7.1.1.1.2

组合 $\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13}$ 和 $\sin (2 t)$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3 \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

解题步骤 7.1.1.2

将 $3$ 移到 $e^{3 t}$ 的左侧。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \cdot e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

解题步骤 7.1.1.3

乘以 $- \frac{2}{13} (e^{3 t} \cos (2 t))$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.1

组合 $e^{3 t}$ 和 $\frac{2}{13}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{e^{3 t} \cdot 2}{13} \cos (2 t)) + C$

解题步骤 7.1.1.3.2

组合 $\cos (2 t)$ 和 $\frac{e^{3 t} \cdot 2}{13}$ 。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) (e^{3 t} \cdot 2)}{13}) + C$

解题步骤 7.1.1.4

去掉多余的括号。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{13}) + C$

解题步骤 7.1.1.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 t) e^{3 t}$ 的左侧。

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 7.1.2

运用分配律。

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 7.1.3

约去 $13$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.3.1

约去公因数。

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 7.1.3.2

重写表达式。

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

解题步骤 7.1.4

约去 $13$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

解题步骤 7.1.4.2

约去公因数。

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

解题步骤 7.1.4.3

重写表达式。

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t} + C$

解题步骤 7.1.5

将 $3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t}$ 中的因式重新排序。

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$

解题步骤 7.2

将 $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ 中的每一项除以 $e^{3 t}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ 中的每一项都除以 $e^{3 t}$ 。

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.1.1

约去 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

用 $3 \sin (2 t)$ 除以 $1$ 。

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 7.2.3.1.2

约去 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

约去公因数。

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

用 $- 2 \cos (2 t)$ 除以 $1$ 。

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$

解题步骤 8

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $6$ 代入 $y$ ，在 $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ 中求 $C$ 的值。

$6 = 3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

解题步骤 9

求解 $C$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$ 。

$3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

化简 $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$3 \sin (0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 9.2.1.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 \cdot 0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 9.2.1.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 9.2.1.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 - 2 \cos (0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 9.2.1.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 9.2.1.1.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

解题步骤 9.2.1.1.7

化简分母。

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解题步骤 9.2.1.1.7.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - 2 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

解题步骤 9.2.1.1.7.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 - 2 + \frac{C}{1} = 6$

解题步骤 9.2.1.1.8

用 $C$ 除以 $1$ 。

$0 - 2 + C = 6$

解题步骤 9.2.1.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2 + C = 6$

解题步骤 9.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.3.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$C = 6 + 2$

解题步骤 9.3.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$C = 8$

解题步骤 10

代入 $8$ 替换 $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 10.1

代入 $8$ 替换 $C$ 。

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{8}{e^{3 t}}$

微积分学 示例

微积分学示例