微积分学示例

$\frac{4}{t} d t - \frac{y - 3}{y} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{4}{t} d t$ 。

$- \frac{y - 3}{y} d y = - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int - \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2.2

用 $y - 3$ 除以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y$

$3$

解题步骤 2.2.2.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

解题步骤 2.2.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

解题步骤 2.2.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + 0$ 中的所有符号

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

解题步骤 2.2.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

解题步骤 2.2.2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2.3

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2.6

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2.8

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.2.9

化简。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int - \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - \int \frac{4}{t} d t$

解题步骤 2.3.2

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - (4 \int \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \int \frac{1}{t} d t$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 (\ln (| t |) + C_{4})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \ln (| t |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- (y - 3 \ln (| y |)) = - 4 \ln (| t |) + C$

微积分学 示例

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