微积分学示例

$2 y d x = (x^{2} + 4) d y$

解题步骤 1

重写该方程。

$(x^{2} + 4) d y = 2 y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ 。

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(x^{2} + 4) y$ 中分解出因数 $x^{2} + 4$ 。

$\frac{1}{(x^{2} + 4) (y)} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(x^{2} + 4) y} y d x$

解题步骤 3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(x^{2} + 4) y} y d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $(x^{2} + 4) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 4.3.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $x^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.3

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

解题步骤 4.3.4

化简答案。

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解题步骤 4.3.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

解题步骤 4.3.4.2

将 $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.3

化简。

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解题步骤 4.3.4.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.3.2.1

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.2

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.3.4

将 $\arctan (\frac{x}{2})$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.4

重新排序项。

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

解题步骤 5.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C} = | y |$

解题步骤 5.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ 。

$| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

解题步骤 5.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

将 $e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ 重写为 $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$

解题步骤 6.2

将 $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$

解题步骤 6.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$

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