微积分学示例

$2 x y d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2 x y d x$ 。

$y^{2} d y = - 2 x y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} y^{2} d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$y d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$y d y = - 2 \frac{1}{y} (x y) d x$

解题步骤 3.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$y d y = \frac{- 2}{y} (x y) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y d y = \frac{- 2}{y} (y x) d x$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$y d y = \frac{- 2}{y} (y x) d x$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$y d y = - 2 x d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int - 2 x d x$

解题步骤 4.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 \int x d x$

解题步骤 4.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 4.3.3

化简答案。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + K$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + K)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + K)$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + K)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- x^{2} + K)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $2 (- x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 K$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 K$

解题步骤 5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + 2 K}$

解题步骤 5.4

从 $- 2 x^{2} + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 K}$

解题步骤 5.4.2

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 K}$

解题步骤 5.4.3

从 $2 (- x^{2}) + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

解题步骤 5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

解题步骤 5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

解题步骤 5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

微积分学 示例

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