微积分学示例

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

解题步骤 1

重写该方程。

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ 。

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

重写表达式。

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.3

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

解题步骤 3.2

化简 $\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ 。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

解题步骤 3.2.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.2.3

化简项。

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解题步骤 3.2.3.1

组合 $K$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.2.4

将 $3$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

解题步骤 3.2.5

将 $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

解题步骤 3.2.6

将 $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

解题步骤 3.2.7.2

对 $\sqrt[3]{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

解题步骤 3.2.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.2.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

解题步骤 3.2.7.5

将 ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.2.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.2.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.2.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.2.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.2.7.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

解题步骤 3.2.7.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

解题步骤 3.2.8

化简分子。

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解题步骤 3.2.8.1

将 ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{3^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

解题步骤 3.2.8.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

解题步骤 3.2.9

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.2.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

解题步骤 3.2.9.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$

微积分学 示例

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