微积分学示例

$\frac{2 d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因式分解出 $\frac{d y}{d x}$ 。

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$2 \frac{d y}{d x} = y \frac{x + 1}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{x + 1}{x}$

解题步骤 1.5

去掉多余的括号。

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

约去公因数。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2

重写表达式。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

解题步骤 3.2.1.1.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

解题步骤 3.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ 。

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

解题步骤 3.5.2

两边同时乘以 $| x |$ 。

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

解题步骤 3.5.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

解题步骤 3.5.3.1.2

重写表达式。

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

解题步骤 3.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

解题步骤 3.5.4.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.4.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

解题步骤 3.5.4.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

解题步骤 3.5.4.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{x + C}$ 重写为 $e^{x} e^{C}$ 。

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

解题步骤 4.3

将 $e^{x + C}$ 重写为 $e^{x} e^{C}$ 。

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

解题步骤 4.4

将 $e^{x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

微积分学 示例

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