微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x e^{6 x - 5 y}$

解题步骤 1

使 $v = e^{6 x - 5 y}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $e^{6 x - 5 y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x v$

解题步骤 2

通过对 $e^{6 x - 5 y}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 6 x - 5 y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x - 5 y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $6 x - 5 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $6 x - 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

解题步骤 2.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

解题步骤 2.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

解题步骤 2.6

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.7

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 y')$

解题步骤 3

代入 $v$ 替换 $e^{6 x - 5 y}$ 。

$\frac{d v}{d x} = v (6 - 5 y')$

解题步骤 4

将导数代回微分方程。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$

解题步骤 5

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ 中的每一项乘以 $- (5 v)$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ 中的每一项乘以 $- (5 v)$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

约去 $5 v$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.1.2

从 $- (5 v)$ 中分解出因数 $5 v$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v (- 1)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v \cdot - 1) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.4

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.4.1

从 $- (5 v)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.4.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.4.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + 6 (- (v)) = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = x v (- (5 v))$

解题步骤 5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v \cdot v$

解题步骤 5.3.2

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

移动 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x (v \cdot v)$

解题步骤 5.3.2.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v^{2}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$

解题步骤 6

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $v^{2}$ 的指数。

$v = v^{- 1}$

解题步骤 7

求解 $v$ 的方程。

$y = v^{- 1}$

解题步骤 8

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 9

取 $v^{- 1}$ 对 $x$ 的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

取 $v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 9.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.4.3.1

将 $v$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.5

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 10

在原方程 $\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$ 中将 $\frac{d v}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将 $v$ 替换成 $v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 11

求解代入的微分方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.2.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.1.2

从 $- v^{2}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.5

通过指数相加将 $v^{- 1}$ 乘以 $v^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.2.1.5.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.5.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.6

化简 $- 6 \cdot - 1 v^{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.7

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.3.1

将 ${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.3.2

通过指数相加将 $v^{- 2}$ 乘以 $v^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.3.2.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

解题步骤 11.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{2 - 2} \cdot - 1$

解题步骤 11.1.3.2.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{0} \cdot - 1$

解题步骤 11.1.3.3

化简 $- 5 x v^{0} \cdot - 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x \cdot - 1$

解题步骤 11.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{d v}{d x} + 6 v = 5 x$

解题步骤 11.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

建立积分。

$e^{\int 6 d x}$

解题步骤 11.2.2

应用常数不变法则。

$e^{6 x + C}$

解题步骤 11.2.3

去掉积分常数。

$e^{6 x}$

解题步骤 11.3

每一项乘以积分因数 $e^{6 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

每一项乘以 $e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + e^{6 x} (6 v) = e^{6 x} (5 x)$

解题步骤 11.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = e^{6 x} (5 x)$

解题步骤 11.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$

解题步骤 11.3.4

将 $e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 v e^{6 x} = 5 x e^{6 x}$

解题步骤 11.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} v] = 5 x e^{6 x}$

解题步骤 11.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} v] d x = \int 5 x e^{6 x} d x$

解题步骤 11.6

对左边积分。

$e^{6 x} v = \int 5 x e^{6 x} d x$

解题步骤 11.7

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.7.1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$e^{6 x} v = 5 \int x e^{6 x} d x$

解题步骤 11.7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} v = 5 (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

解题步骤 11.7.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.7.3.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} v = 5 (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

解题步骤 11.7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{6 x}}{6}$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

解题步骤 11.7.3.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

解题步骤 11.7.4

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

解题步骤 11.7.5

使 $u = 6 x$ 。然后使 $d u = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.7.5.1

设 $u = 6 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.7.5.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 11.7.5.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 11.7.5.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 11.7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

解题步骤 11.7.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

解题步骤 11.7.7

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

解题步骤 11.7.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.7.8.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

解题步骤 11.7.8.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

解题步骤 11.7.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

解题步骤 11.7.10

将 $5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ 重写为 $5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

解题步骤 11.7.11

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x}) + C$

解题步骤 11.8

求解 $v$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.1.1

组合 $e^{6 x}$ 和 $\frac{1}{36}$ 。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

解题步骤 11.8.1.2

去掉圆括号。

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

解题步骤 11.8.2

将 $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ 中的每一项除以 $e^{6 x}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.1

将 $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ 中的每一项都除以 $e^{6 x}$ 。

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.2.1

约去 $e^{6 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.1.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.1.1.1

从 $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.1.1.1.1

从 $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x}$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.1.2

从 $- \frac{e^{6 x}}{36}$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.1.3

从 $e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36})$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x - \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x$ 。

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.3

要将 $\frac{x}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.1.1.4.1

将 $\frac{x}{6}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{6 \cdot 6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.4.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{36} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.5

在公分母上合并分子。

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{x \cdot 6 - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.6

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{6 x - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.7

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.1.1.7.1

组合 $\frac{6 x - 1}{36}$ 和 $5$ 。

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36} e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.7.2

组合 $\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36}$ 和 $e^{6 x}$ 。

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5 e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.1.8

将 $5$ 移到 $6 x - 1$ 的左侧。

$v = \frac{\frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.3

合并。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.4

约去 $e^{6 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.1.4.1

约去公因数。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.4.2

重写表达式。

$v = \frac{5 (6 x - 1) \cdot 1}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.1.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.2

要将 $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ 。

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.3

要将 $\frac{C}{e^{6 x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{36}{36}$ 。

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

解题步骤 11.8.2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36 e^{6 x}$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.4.1

将 $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ 乘以 $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ 。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

解题步骤 11.8.2.3.4.2

将 $\frac{C}{e^{6 x}}$ 乘以 $\frac{36}{36}$ 。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{e^{6 x} \cdot 36}$

解题步骤 11.8.2.3.4.3

重新排序 $e^{6 x} \cdot 36$ 的因式。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.5

在公分母上合并分子。

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.8.2.3.6.1

运用分配律。

$v = \frac{(5 (6 x) + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.6.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$v = \frac{(30 x + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.6.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$v = \frac{(30 x - 5) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.6.4

运用分配律。

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 11.8.2.3.6.5

将 $36$ 移到 $C$ 的左侧。

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 12

代入 $v^{- 1}$ 替换 $v$ 。

$v^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 13

使用 $e^{6 x - 5 y}$ 替换所有出现的 $v$ 。

${(e^{6 x - 5 y})}^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

解题步骤 14

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

解题步骤 14.2

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

通过将 $- 1$ 移到对数外来展开 $\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1})$ 。

$- \ln (e^{6 x - 5 y}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

解题步骤 14.2.2

通过将 $6 x - 5 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{6 x - 5 y})$ 。

$- ((6 x - 5 y) \ln (e)) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

解题步骤 14.2.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- ((6 x - 5 y) \cdot 1) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

解题步骤 14.2.4

将 $6 x - 5 y$ 乘以 $1$ 。

$- (6 x - 5 y) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

解题步骤 14.3

展开右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1

将 $\ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$ 重写为 $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$ 。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$

解题步骤 14.3.2

将 $\ln (36 e^{6 x})$ 重写为 $\ln (36) + \ln (e^{6 x})$ 。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + \ln (e^{6 x}))$

解题步骤 14.3.3

通过将 $6 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{6 x})$ 。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \ln (e))$

解题步骤 14.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \cdot 1)$

解题步骤 14.3.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

解题步骤 14.4

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.4.1

化简 $- (6 x - 5 y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.4.1.1

运用分配律。

$- (6 x) - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

解题步骤 14.4.1.2

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.4.1.2.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

解题步骤 14.4.1.2.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

解题步骤 14.5

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1

化简 $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1.1.1

运用分配律。

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - (6 x)$

解题步骤 14.5.1.1.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - 6 x$

解题步骤 14.5.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}) - 6 x$

解题步骤 14.5.1.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1.3.1

分解分数 $\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}$ 成为两个分数。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

解题步骤 14.5.1.3.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1.3.2.1

从 $30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}$ 中分解出因数 $5 e^{6 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1.3.2.1.1

从 $30 x e^{6 x}$ 中分解出因数 $5 e^{6 x}$ 。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

解题步骤 14.5.1.3.2.1.2

从 $- 5 e^{6 x}$ 中分解出因数 $5 e^{6 x}$ 。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

解题步骤 14.5.1.3.2.1.3

从 $5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)$ 中分解出因数 $5 e^{6 x}$ 。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

解题步骤 14.5.1.3.2.2

约去 $36$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1.3.2.2.1

约去公因数。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

解题步骤 14.5.1.3.2.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x$

解题步骤 14.6

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.6.1

在等式两边都加上 $6 x$ 。

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$

解题步骤 14.6.2

合并 $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.6.2.1

将 $- 6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) + 0$

解题步骤 14.6.2.2

将 $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ 和 $0$ 相加。

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$

解题步骤 14.7

将 $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.7.1

将 $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

解题步骤 14.7.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.7.2.1

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

解题步骤 14.7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

微积分学 示例

微积分学示例