微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{3}{x}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简。

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{3 \ln (x)}$

解题步骤 1.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{3})}$

解题步骤 1.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{3}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $x^{3}$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $y$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.3

重写表达式。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \ln (x)$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x \ln (x)$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x \ln (x) d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$x^{3} y = \int x \ln (x) d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x$ 。

$x^{3} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$x^{3} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

解题步骤 6.4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

解题步骤 6.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

解题步骤 6.4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 6.4.2.2.3

约去公因数。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 6.4.2.2.4

重写表达式。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

解题步骤 6.4.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

解题步骤 6.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 6.6

化简答案。

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解题步骤 6.6.1

将 $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6.6.2

化简。

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解题步骤 6.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (x)$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6.6.2.2

组合 $\frac{\ln (x)}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6.6.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

解题步骤 6.6.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

解题步骤 6.6.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

解题步骤 6.6.4

重新排序项。

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

解题步骤 7.1.2

去掉圆括号。

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

解题步骤 7.2

将 $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ 中的每一项除以 $x^{3}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ 中的每一项都除以 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

从 $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (x)$ 。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.4.1

将 $- \frac{x^{2}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.4.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.4.3

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.4.4

约去公因数。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.4.5

重写表达式。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将 $\frac{- 1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 7.2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

微积分学 示例

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