微积分学示例

$x y^{2} \frac{d y}{d x} - x = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

解题步骤 1.1.2

将 $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ 中的每一项除以 $x y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ 中的每一项都除以 $x y^{2}$ 。

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

要将 $\frac{1}{y^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x y^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{y^{2} x}$

解题步骤 1.2.2.2

重新排序 $x y^{2}$ 的因式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{x}{y^{2} x}$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{y^{2} x}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{1 + x}{x}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{x y^{2}}$

解题步骤 1.5.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$y^{2} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = x + \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$y^{3} = 3 x + 3 \ln (| x |) + 3 C$

解题步骤 3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| x |)$ 。

$y^{3} = 3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + C}$

微积分学 示例

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