微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

解题步骤 1

假设 $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ 。

解题步骤 2

检查函数在 $(3, 1)$ 的邻域是否连续。

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解题步骤 2.1

将 $(3, 1)$ 值代入 $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ 。

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解题步骤 2.1.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{3 - y}$

解题步骤 2.1.2

代入 $1$ 替换 $y$ 。

$\sqrt{3 - 1}$

解题步骤 2.1.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{2}$

解题步骤 2.2

因为不存在自变量为负数或零的对数，不存在被开方数为零或负数的偶次方根，且不存在分母中有零的分数，所以函数在 $(3, 1)$ 的 $x$ 值附近的开区间上连续。

连续

解题步骤 3

求对 $y$ 的偏导数。

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解题步骤 3.1

建立偏导数。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

解题步骤 3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - y}$ 重写成 ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = x - y$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - y$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.3.3

使用 $x - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.8

合并分数。

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解题步骤 3.8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 3.9

根据加法法则， $x - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 3.10

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 3.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 3.12

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.14

合并分数。

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解题步骤 3.14.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

解题步骤 3.14.2

组合 $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.14.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

检查对 $y$ 的偏导数在 $(3, 1)$ 的邻域是否连续。

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解题步骤 4.1

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

解题步骤 4.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

解题步骤 4.2

将 $(3, 1)$ 值代入 $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

解题步骤 4.2.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

解题步骤 4.2.3

代入 $3$ 替换 $y$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

解题步骤 4.3

因为不存在自变量为负数或零的对数，不存在被开方数为零或负数的偶次方根，且不存在分母中有零的分数，所以函数在 $(3, 1)$ 的 $y$ 值附近的开区间上连续。

连续

解题步骤 5

函数及其对 $y$ 的偏导数在 $(3, 1)$ 的 $x$ 值附近的开区间上连续。

一个唯一的解

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