微积分学示例

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

解题步骤 1

重写微分方程。

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

解题步骤 2

求 $y'$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

解题步骤 2.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 2.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.3.3.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.3.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

解题步骤 2.3.3.6

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

解题步骤 2.3.3.7

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

解题步骤 2.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

解题步骤 3

求 $y''$ 。

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解题步骤 3.1

建立导数。

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ 。

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.3.7

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.4.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.4.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

解题步骤 3.4.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

解题步骤 3.4.6

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

解题步骤 3.4.7

将 $4$ 乘以 $- 20$ 。

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

解题步骤 4

代入给定的微分方程。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

解题步骤 5.1.2

将 $6$ 乘以 $- 7$ 。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

解题步骤 5.1.3

将 $- 20$ 乘以 $- 7$ 。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

解题步骤 5.1.4

运用分配律。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

解题步骤 5.1.5

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

解题步骤 5.1.6

将 $- 5$ 乘以 $12$ 。

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

解题步骤 5.2

从 $18 e^{3 x}$ 中减去 $42 e^{3 x}$ 。

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

解题步骤 5.3

合并 $- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 24 e^{3 x}$ 和 $24 e^{3 x}$ 相加。

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

解题步骤 5.3.2

从 $0$ 中减去 $80 e^{4 x}$ 。

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

解题步骤 5.4

将 $- 80 e^{4 x}$ 和 $140 e^{4 x}$ 相加。

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

解题步骤 5.5

从 $60 e^{4 x}$ 中减去 $60 e^{4 x}$ 。

$0 = 0$

解题步骤 6

给定的解满足给定微分方程。

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ 是 $y'' - 7 y' + 12 y = 0$ 的解

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