微积分学示例

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

解题步骤 1

重写该方程。

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $2 t - 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 t - 1$ 移到积分外。

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

解题步骤 3

将 $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ 中的每一项除以 $t$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ 中的每一项都除以 $t$ 。

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

运用分配律。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.5

运用分配律。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.6.1

从 $2 x^{2} t$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.6.2

约去公因数。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.6.3

重写表达式。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.8

用公分母合并 $x^{2} t$ 和 $- \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.8.1

将 $x^{2}$ 和 $t$ 重新排序。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.8.2

要将 $t x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.8.3

组合 $t x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.8.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.9

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.9.1

从 $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.9.1.1

从 $t x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.9.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.9.1.3

从 $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.2.9.2

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.3

要将 $6 e^{2 t} t x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.4

化简项。

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解题步骤 3.3.4.1

组合 $6 e^{2 t} t x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.4.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.3.5.1.1

从 $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.5.1.2

从 $x^{2} (2 t - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.5.1.3

从 $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.5.3

运用分配律。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.5.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.5.5

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.5.6

化简每一项。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

解题步骤 3.3.6

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.7

化简项。

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解题步骤 3.3.7.1

组合 $K$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.7.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8

化简分子。

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解题步骤 3.3.8.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8.2

化简。

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解题步骤 3.3.8.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.8.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.8.3.1.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.8.3.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.8.4

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.9

将 $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

解题步骤 3.3.10

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

解题步骤 3.3.11

将 $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ 乘以 $\frac{1}{t}$ 。

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$

微积分学 示例

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