微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1.2

从 $- \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$e^{\int - \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

解题步骤 2.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$e^{\int - - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$e^{\int - - \cot (x) d x}$

解题步骤 2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\int 1 \cot (x) d x}$

解题步骤 2.2.1.5

将 $\cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{\int \cot (x) d x}$

解题步骤 2.2.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\sin (x))}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sin (x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2.2

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - (- 1 \cos (x)) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + 1 \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.2.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$

解题步骤 3.4

将 $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = x \sin (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = x \sin (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int x \sin (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\sin (x) y = \int x \sin (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

解题步骤 7.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

解题步骤 7.3.2

将 $\int \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

解题步骤 7.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

解题步骤 7.5

将 $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ 重写为 $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ 。

$\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

解题步骤 8

将 $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ 中的每一项除以 $\sin (x)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ 中的每一项都除以 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

分离分数。

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$y = \frac{- x}{1} \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.3

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.4.1

约去公因数。

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.4.2

重写表达式。

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.5

分离分数。

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.6

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \csc (x)$

解题步骤 8.3.1.7

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = - x \cot (x) + 1 + C \csc (x)$

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