微积分学示例

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

解题步骤 1

重写该方程。

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x e^{y}}$ 。

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

从 $x e^{y}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

解题步骤 3.1.2

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

解题步骤 3.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{e^{y}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

解题步骤 3.3

约去 $e^{y}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

从 $x e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

解题步骤 3.3.2

从 $(5 - x) e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $5 - x$ 。

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

将 $e^{y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.1.2

将 ${(e^{y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{- y}$ 。

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.4.2

将 $\int e^{- y} d y$ 乘以 $1$ 。

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.5

使 $u = - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

设 $u = - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 4.2.5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 4.2.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.8

将 $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ 重写为 $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ 。

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.9

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.2.10

重新排序项。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将分数分解成多个分数。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

解题步骤 4.3.3.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 4.3.4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 4.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

解题步骤 4.3.6

应用常数不变法则。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 4.3.7

化简。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

解题步骤 4.3.8

重新排序项。

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例