微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x (3 + 5 x^{2})$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \cdot 3 + x (5 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

重新排序项。

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 5 x^{2} x + 3 x$

解题步骤 1.2

将 $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 5 x^{2} x + 3 x$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $5 x^{2} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (5 x \cdot x)}{x} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (5 x \cdot x)}{x^{1}} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (5 x \cdot x)}{x \cdot 1} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.4.2.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (5 x \cdot x)}{x \cdot 1} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.4.2.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5 x \cdot x}{1} + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.4.2.5

用 $5 x \cdot x$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x \cdot x + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x \cdot x + \frac{3 x}{x}$

解题步骤 1.5.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x \cdot x + 3$

解题步骤 1.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 (x^{1} x) + 3$

解题步骤 1.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 (x^{1} x^{1}) + 3$

解题步骤 1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x^{1 + 1} + 3$

解题步骤 1.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x^{2} + 3$

解题步骤 1.10

从 $\frac{2 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 5 x^{2} + 3$

解题步骤 1.11

将 $y$ 和 $\frac{2}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 5 x^{2} + 3$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{2}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{2})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{2}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.3.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.3.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{4} + x^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 5 x^{4} + 3 x^{2} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$x^{2} y = \int 5 x^{4} + 3 x^{2} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$x^{2} y = \int 5 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 7.2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$x^{2} y = 5 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 7.3

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 7.4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x$

解题步骤 7.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 7.6

化简。

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解题步骤 7.6.1

化简。

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

解题步骤 7.6.2

化简。

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解题步骤 7.6.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$x^{2} y = \frac{5}{5} x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

解题步骤 7.6.2.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.2.2.1

约去公因数。

$x^{2} y = \frac{5}{5} x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

解题步骤 7.6.2.2.2

重写表达式。

$x^{2} y = 1 x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

解题步骤 7.6.2.3

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} y = x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

解题步骤 7.6.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x^{2} y = x^{5} + \frac{3}{3} x^{3} + C$

解题步骤 7.6.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.2.5.1

约去公因数。

$x^{2} y = x^{5} + \frac{3}{3} x^{3} + C$

解题步骤 7.6.2.5.2

重写表达式。

$x^{2} y = x^{5} + 1 x^{3} + C$

解题步骤 7.6.2.6

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} y = x^{5} + x^{3} + C$

解题步骤 8

将 $x^{2} y = x^{5} + x^{3} + C$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $x^{2} y = x^{5} + x^{3} + C$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $x^{5}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{1} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2.4

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$y = x^{3} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = x^{3} + \frac{x^{2} x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.2.1

乘以 $1$ 。

$y = x^{3} + \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = x^{3} + \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = x^{3} + \frac{x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = x^{3} + x + \frac{C}{x^{2}}$

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