微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y^{2} + 1)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (6 x (y^{2} + 1))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

解题步骤 1.2.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

解题步骤 1.2.3

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $x (y^{2} + 1)$ 中分解出因数 $y^{2} + 1$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 6 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 6 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$\arctan (y) + C_{1} = 6 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = 3 x^{2} + K$

解题步骤 3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (3 x^{2} + K)$

微积分学 示例

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