微积分学示例

$x (1 + 3 y^{2}) d y - (1 + 2 x^{2}) d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $(1 + 2 x^{2}) d x$ 。

$x (1 + 3 y^{2}) d y = (1 + 2 x^{2}) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1 + 2 x^{2}$ 。

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int 1 + 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} + 3 \int y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.4

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$y + C_{1} + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.5

化简。

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解题步骤 4.2.5.1

化简。

$y + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.5.2

化简。

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解题步骤 4.2.5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.5.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.2.1

约去公因数。

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.5.2.2.2

重写表达式。

$y + 1 y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.5.2.3

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y + y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.2.6

重新排序项。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将分数分解成多个分数。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x$

解题步骤 4.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x$

解题步骤 4.3.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

解题步骤 4.3.3.2.3

约去公因数。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

解题步骤 4.3.3.2.4

重写表达式。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{1} d x$

解题步骤 4.3.3.2.5

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int 2 x d x$

解题步骤 4.3.5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 \int x d x$

解题步骤 4.3.6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

化简。

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

解题步骤 4.3.7.2

化简。

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解题步骤 4.3.7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

解题步骤 4.3.7.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.2.1

约去公因数。

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

解题步骤 4.3.7.2.2.2

重写表达式。

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 1 x^{2} + C_{6}$

解题步骤 4.3.7.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + x^{2} + C_{6}$

解题步骤 4.3.8

重新排序项。

$y^{3} + y + C_{3} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y^{3} + y = x^{2} + \ln (| x |) + C$

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