微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $y^{2} + x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}{x^{2} y - x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

从 $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

解题步骤 1.1.4

将 $y^{2}$ 乘以 $1 + x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

解题步骤 1.2

从 $x^{2} y - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) - x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 1.2.3

从 $x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y - 1)}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{y - 1}{y^{2}}$ 。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{y^{2}}{y - 1}$ 乘以 $\frac{1 + x}{x^{2}}$ 。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $(y - 1) x^{2}$ 中分解出因数 $y - 1$ 。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) (x^{2})}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{y - 1}{y^{2}} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y - 1}{y^{2}} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (y - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (y - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (y - 1) y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

乘以 $(y - 1) y^{- 2}$ 。

$\int y \cdot y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int y^{1} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{1 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.1.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\int y^{- 1} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $- 1 y^{- 2}$ 重写为 $- y^{- 2}$ 。

$\int y^{- 1} - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{- 1} d y + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5

$y^{- 1}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.7

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.8

化简。

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解题步骤 2.2.8.1

化简。

$\ln (| y |) - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.8.2

化简。

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解题步骤 2.2.8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.8.2.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.9

重新排序项。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.2

乘以 $(1 + x) x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

解题步骤 2.3.3.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \int x^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.6

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

解题步骤 2.3.7

化简。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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