微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t}$

解题步骤 1

设 $V = \frac{y}{t}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = V$

解题步骤 2

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{t}$ 。

$y = V t$

解题步骤 3

使用乘积法则求 $y = V t$ 对 $t$ 的导数。

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

解题步骤 4

代入 $t \frac{d V}{d t} + V$ 替换 $\frac{d y}{d t}$ 。

$t \frac{d V}{d t} + V = V$

解题步骤 5

求解代入的微分方程。

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解题步骤 5.1

分离变量。

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解题步骤 5.1.1

求解 $\frac{d V}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d t}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$t \frac{d V}{d t} = V - V$

解题步骤 5.1.1.1.2

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$t \frac{d V}{d t} = 0$

$t \frac{d V}{d t} = 0$

解题步骤 5.1.1.2

将 $t \frac{d V}{d t} = 0$ 中的每一项除以 $t$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $t \frac{d V}{d t} = 0$ 中的每一项都除以 $t$ 。

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{0}{t}$

解题步骤 5.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{0}{t}$

解题步骤 5.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d t} = \frac{0}{t}$

$\frac{d V}{d t} = \frac{0}{t}$

$\frac{d V}{d t} = \frac{0}{t}$

解题步骤 5.1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.1.2.3.1

用 $0$ 除以 $t$ 。

$\frac{d V}{d t} = 0$

$\frac{d V}{d t} = 0$

$\frac{d V}{d t} = 0$

$\frac{d V}{d t} = 0$

解题步骤 5.1.2

重写该方程。

$d V = 0 d t$

$d V = 0 d t$

解题步骤 5.2

对两边积分。

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解题步骤 5.2.1

在两边建立积分。

$\int d V = \int 0 d t$

解题步骤 5.2.2

应用常数不变法则。

$V + C_{1} = \int 0 d t$

解题步骤 5.2.3

对右边积分。

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解题步骤 5.2.3.1

$0$ 对 $t$ 的积分为 $0$ 。

$V + C_{1} = 0 + C_{2}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $0$ 和 $C_{2}$ 相加。

$V + C_{1} = C_{2}$

$V + C_{1} = C_{2}$

解题步骤 5.2.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$V = D$

$V = D$

$V = D$

解题步骤 6

代入 $\frac{y}{t}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{t} = D$

解题步骤 7

求解 $y$ 的 $\frac{y}{t} = D$ 。

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解题步骤 7.1

两边同时乘以 $t$ 。

$\frac{y}{t} t = D t$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{t} t = D t$

解题步骤 7.2.1.2

重写表达式。

$y = D t$

$y = D t$

$y = D t$

$y = D t$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$