微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.2.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 1.2.3

约去 ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $x {(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 ${(y - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} ({(y - 1)}^{\frac{2}{3}} x)$

解题步骤 1.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = 6 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}} d y = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y - 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y - 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y - 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.2.1

通过将 $u^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{\frac{- 2}{3}} d u = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int u^{- \frac{2}{3}} d u = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $u^{- \frac{2}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $3 u^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 u^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

解题步骤 2.2.4

使用 $y - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 6 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = 3 x^{2} + K$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{3 {(y - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

解题步骤 3.1.2.2

用 ${(y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.1

约去公因数。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{K}{3}$

解题步骤 3.1.3.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3}} = x^{2} + \frac{K}{3}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(y - 1)}^{1} = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y - 1 = {(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(x^{2} + \frac{K}{3})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用二项式定理。

$y - 1 = {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y - 1 = x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.2.1

从 $3 {(x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = x^{6} + 3 ({(x^{2})}^{2}) \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2.2

约去公因数。

$y - 1 = x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \frac{K}{3} + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2.3

重写表达式。

$y - 1 = x^{6} + {(x^{2})}^{2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y - 1 = x^{6} + x^{2 \cdot 2} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.4

对 $\frac{K}{3}$ 运用乘积法则。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.5.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.5.2

从 $3^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 (x^{2}) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.5.3

约去公因数。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + 3 x^{2} \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.5.4

重写表达式。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + x^{2} \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.6

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{K^{2}}{3}$ 。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.7

对 $\frac{K}{3}$ 运用乘积法则。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.2.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$y - 1 = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

解题步骤 3.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27} + 1$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = x^{6} + x^{4} K + \frac{x^{2} K}{3} + K$

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