微积分学示例

${(x + y)}^{2} d x + (2 x y + x^{2} - 1) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{2}]$

解题步骤 1.2

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(x + y) (x + y)]$

解题步骤 1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (x + y) + y (x + y)]$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

解题步骤 1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

解题步骤 1.4.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

解题步骤 1.4.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

解题步骤 1.4.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

解题步骤 1.5

根据加法法则， $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.6

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [2 x y]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.8

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 x y + x^{2} - 1$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2} - 1]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 x y + x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 y + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 x + 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x + 2 y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int {(x + y)}^{2} d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

使 $u = x + y$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1.1

设 $u = x + y$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $x + y$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 5.1.1.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 5.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 5.1.1.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$f (x, y) = \int u^{2} d u$

解题步骤 5.2

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 5.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = x + y$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.2.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.3

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.4

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.8

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.9

组合 $\frac{3}{3}$ 和 ${(x + y)}^{2}$ 。

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.10.1

约去公因数。

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.3.10.2

用 ${(x + y)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

${(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + {(x + y)}^{2} = 2 x y + x^{2} - 1$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

从等式两边同时减去 ${(x + y)}^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$

解题步骤 10

求 $2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int 2 x y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.4

由于 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2 x$ 移到积分外。

$g (y) = 2 x \int y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.5

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.6

应用常数不变法则。

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.8

应用常数不变法则。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C + \int - {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.9

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int {(x + y)}^{2} d y$

解题步骤 10.10

使 $u = x + y$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.10.1

设 $u = x + y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 10.10.1.1

对 $x + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [x + y]$

解题步骤 10.10.1.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 10.10.1.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 10.10.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 10.10.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 10.10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int u^{2} d u$

解题步骤 10.11

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 10.12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 10.13

化简。

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{u^{3}}{3} + C$

解题步骤 10.14

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{{(x + y)}^{3}}{3} + C$

解题步骤 10.15

化简。

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解题步骤 10.15.1

重新排序项。

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - (\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}) + C$

解题步骤 10.15.2

去掉圆括号。

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

解题步骤 12

合并 $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1

从 $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ 中减去 $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ 。

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + 0 + C$

解题步骤 12.2

将 $x y^{2} + x^{2} y - y$ 和 $0$ 相加。

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + C$

微积分学 示例

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