微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C_{1}}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

解题步骤 3.2

将 $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x}$ 和 $\cos (x)$ 重新排序。

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

解题步骤 7.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7.4

化简表达式。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7.4.2

将 $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7.4.3

将 $e^{x}$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

解题步骤 7.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

解题步骤 7.6

求解 $\int e^{x} \cos (x) d x$ ，我们发现 $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ 。

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

解题步骤 7.7

将 $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ 。

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

解题步骤 8

将 $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1.1

从 $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 8.3.1.1.1.1

从 $\cos (x) e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.1.1.2

从 $\sin (x) e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.1.1.3

从 $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.2

从 $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ 中分解出因数 $\frac{e^{x}}{2}$ 。

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.3

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.3.1

约去公因数。

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.3.2

重写表达式。

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.4

运用分配律。

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (x)$ 。

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8.3.1.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (x)$ 。

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 9

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

解题步骤 10

重写该方程。

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

解题步骤 11

对两边积分。

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解题步骤 11.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.2

应用常数不变法则。

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3

对右边积分。

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解题步骤 11.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.6

由于 $C_{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

解题步骤 11.3.7

化简表达式。

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解题步骤 11.3.7.1

将 $e^{x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.3.7.2

化简。

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解题步骤 11.3.7.2.1

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.7.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.3.7.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

解题步骤 11.3.7.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

解题步骤 11.3.7.2.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

解题步骤 11.3.8

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.3.8.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 11.3.8.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 11.3.8.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.3.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 11.3.8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 11.3.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

解题步骤 11.3.9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

解题步骤 11.3.10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

解题步骤 11.3.11

化简。

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

解题步骤 11.3.12

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

解题步骤 11.3.13

重新排序项。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

解题步骤 11.3.14

重新排序项。

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

解题步骤 11.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$

微积分学 示例

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