微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$

解题步骤 1

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{3}$ 的指数。

$v = y^{- 2}$

解题步骤 2

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 4

取 $v^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取 $v^{- \frac{1}{2}}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

解题步骤 4.5

化简。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 4.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.6.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 4.6.2

化简表达式。

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解题步骤 4.6.2.1

将 $v^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 4.6.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 4.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

解题步骤 4.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = v$ 。

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解题步骤 4.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $v$ 。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.7.3

使用 $v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.10

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.11

化简分子。

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解题步骤 4.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.12

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $v^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

解题步骤 4.15

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

解题步骤 4.16

组合 $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 和 $v'$ 。

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

解题步骤 4.17

将 $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ 重写为乘积形式。

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

解题步骤 4.18

将 $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{v}$ 。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

解题步骤 4.19

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.22

在公分母上合并分子。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 4.23

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

在原方程 $\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的每一项乘以 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 以消去分数。

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解题步骤 6.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的每一项乘以 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

约去 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.1.2

从 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.5

通过指数相加将 $v^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.5.1

移动 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3 - 1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.5.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{2}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.5.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{1} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.6

化简 $- 1 \cdot 2 v^{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.1.3.3

将 ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.1.3.3.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.1.3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.1.3.3.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.1.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.1.3.4

通过指数相加将 $v^{- \frac{3}{2}}$ 乘以 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.3.4.1

移动 $v^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 6.1.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

解题步骤 6.1.3.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

解题步骤 6.1.3.4.4

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

解题步骤 6.1.3.4.5

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{0}$

解题步骤 6.1.3.5

化简 $- 2 x v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x$

解题步骤 6.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2$ 。

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解题步骤 6.2.1

建立积分。

$e^{\int - 2 d x}$

解题步骤 6.2.2

应用常数不变法则。

$e^{- 2 x + C}$

解题步骤 6.2.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 x}$

解题步骤 6.3

每一项乘以积分因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 6.3.1

每一项乘以 $e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 v) = e^{- 2 x} (- 2 x)$

解题步骤 6.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} (- 2 x)$

解题步骤 6.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$

解题步骤 6.3.4

将 $e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 v e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x}$

解题步骤 6.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] = - 2 x e^{- 2 x}$

解题步骤 6.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] d x = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.6

对左边积分。

$e^{- 2 x} v = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.7

对右边积分。

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解题步骤 6.7.1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} v = - 2 \int x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 6.7.3

化简。

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解题步骤 6.7.3.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 6.7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 6.7.3.3

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.7.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.7.5

化简。

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解题步骤 6.7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.7.5.2

将 $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.7.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 6.7.7

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.7.7.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.7.7.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.7.7.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.7.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.7.7.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.7.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

解题步骤 6.7.8

化简。

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解题步骤 6.7.8.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

解题步骤 6.7.8.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 6.7.9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

解题步骤 6.7.10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 6.7.11

化简。

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解题步骤 6.7.11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.7.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.7.12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 6.7.13

化简。

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解题步骤 6.7.13.1

将 $- 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $- 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 6.7.13.2

化简。

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解题步骤 6.7.13.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 6.7.13.2.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 6.7.13.2.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.14

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.15

化简。

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解题步骤 6.7.15.1

运用分配律。

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.15.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.15.2.1

将 $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{- 2 x} v = - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.15.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 2 x} v = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.15.2.3

约去公因数。

$e^{- 2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.15.2.4

重写表达式。

$e^{- 2 x} v = - (- e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.15.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 x} v = 1 (e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.15.4

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.7.15.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.15.5.1

将 $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.15.5.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 6.7.15.5.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 6.7.15.5.4

约去公因数。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 6.7.15.5.5

重写表达式。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.6

化简每一项。

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解题步骤 6.7.15.6.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.6.2

乘以 $- - \frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

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解题步骤 6.7.15.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 1 \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.6.2.2

将 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.7

用公分母合并 $e^{- 2 x} x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

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解题步骤 6.7.15.7.1

将 $e^{- 2 x}$ 和 $x$ 重新排序。

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.7.2

要将 $x e^{- 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.7.3

组合 $x e^{- 2 x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.7.4

在公分母上合并分子。

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.8

化简分子。

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解题步骤 6.7.15.8.1

从 $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 6.7.15.8.1.1

从 $x e^{- 2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.8.1.2

乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.8.1.3

从 $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

解题步骤 6.7.15.8.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

$e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

解题步骤 6.8

将 $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ 中的每一项除以 $e^{- 2 x}$ 并化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.2

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.1

约去 $e^{- 2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3

化简右边。

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解题步骤 6.8.3.1

在公分母上合并分子。

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 6.8.3.2.1

运用分配律。

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.3

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}) + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.4

运用分配律。

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{- 2 x} x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.3.2.5.1

从 $2 e^{- 2 x} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.5.2

约去公因数。

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.5.3

重写表达式。

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- 2 x}$ 。

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.7

用公分母合并 $e^{- 2 x} x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

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解题步骤 6.8.3.2.7.1

将 $e^{- 2 x}$ 和 $x$ 重新排序。

$v = \frac{x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.7.2

要将 $x e^{- 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.7.3

组合 $x e^{- 2 x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.7.4

在公分母上合并分子。

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.8

化简分子。

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解题步骤 6.8.3.2.8.1

从 $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 6.8.3.2.8.1.1

从 $x e^{- 2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.8.1.2

乘以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.8.1.3

从 $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.2.8.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.3

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.4

化简项。

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解题步骤 6.8.3.4.1

组合 $C$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.4.2

在公分母上合并分子。

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.5

化简分子。

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解题步骤 6.8.3.5.1

运用分配律。

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.5.3

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.5.4

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.6

将 $\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ 中的因式重新排序。

$v = \frac{\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 6.8.3.8

将 $\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ 乘以 $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ 。

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7

代入 $y^{- 2}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 2} = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$

微积分学 示例

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