微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 1 = 2 x - \frac{1}{2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{2} + 1$

解题步骤 1.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

解题步骤 1.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{- 1 + 2}{2}$

解题步骤 1.1.4

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = (2 x + \frac{1}{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 2 x + \frac{1}{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 2 x + \frac{1}{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int \frac{1}{2} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int \frac{1}{2} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{2} d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \frac{1}{2} x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{1}{2} x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{2} x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = x^{2} + \frac{1}{2} x + K$

微积分学 示例

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