微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \sqrt{1 - y^{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{1 - y^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \sqrt{1 - y^{2}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arcsin (y)$

$\arcsin (y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\arcsin (y) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arcsin (y) = x + K$

解题步骤 3

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$y = \sin (x + K)$

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