微积分学示例

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x + y e^{\frac{y}{x}}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{\frac{y}{x}}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + y e^{\frac{y}{x}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [y e^{\frac{y}{x}}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = e^{\frac{y}{x}}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = \frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\frac{y}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.3

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} (\frac{1}{x} \cdot 1)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

解题步骤 1.3.6

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x}) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

解题步骤 1.3.7

组合 $e^{\frac{y}{x}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

解题步骤 1.3.8

组合 $y$ 和 $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1$

解题步骤 1.3.9

将 $e^{\frac{y}{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - x e^{\frac{y}{x}}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x e^{\frac{y}{x}}]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x e^{\frac{y}{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x e^{\frac{y}{x}}]$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{\frac{y}{x}}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3

使用 $\frac{y}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 2 + 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (y \cdot (- 1))) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- 1 \cdot y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 $e^{\frac{y}{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x^{- 1} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y)) + e^{\frac{y}{x}})$

解题步骤 2.11.2

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{1}{x} (e^{\frac{y}{x}} (- y))) - e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 2.11.3

合并项。

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解题步骤 2.11.3.1

组合 $e^{\frac{y}{x}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} (- y)) - e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 2.11.3.2

组合 $\frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 2.11.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 2.11.3.4

将 $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 2.11.4

将 $\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $- x e^{\frac{y}{x}}$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $- x e^{\frac{y}{x}}$ 替换 $N$ 。

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - (\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - e^{\frac{y}{x}})}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} - - e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

解题步骤 4.3.2.2

乘以 $- - e^{\frac{y}{x}}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $e^{\frac{y}{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}} - \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ 中减去 $\frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x}$ 。

$\frac{0 + e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $0$ 和 $e^{\frac{y}{x}}$ 相加。

$\frac{e^{\frac{y}{x}} + e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $e^{\frac{y}{x}}$ 和 $e^{\frac{y}{x}}$ 相加。

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

解题步骤 4.3.3

约去 $e^{\frac{y}{x}}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{2 e^{\frac{y}{x}}}{- x e^{\frac{y}{x}}}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{- x}$

解题步骤 4.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| x |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

解题步骤 6

在 $(x + y e^{\frac{y}{x}}) d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x + y e^{\frac{y}{x}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(x + y e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $x + y e^{\frac{y}{x}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $- x e^{\frac{y}{x}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - x e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $- x e^{\frac{y}{x}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.4.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

解题步骤 6.4.3

约去公因数。

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x + x (- 1 e^{\frac{y}{x}}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

解题步骤 6.4.4

重写表达式。

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 e^{\frac{y}{x}} \frac{1}{x} d y = 0$

解题步骤 6.5

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $e^{\frac{y}{x}}$ 。

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $- 1 \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ 重写为 $- \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ 。

$\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} d x - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = - \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int \frac{e^{\frac{y}{x}}}{x} d y$

解题步骤 8.2

由于 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x}$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (\frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y)$

解题步骤 8.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{\frac{y}{x}} d y$

解题步骤 8.4

使 $u = \frac{y}{x}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d y$ ，以便 $x d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.4.1

设 $u = \frac{y}{x}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 8.4.1.1

对 $\frac{y}{x}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

解题步骤 8.4.1.2

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 8.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 8.4.1.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 8.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{x}} d u$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{x}$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} (1 x) d u$

解题步骤 8.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{x} \int e^{u} x d u$

解题步骤 8.6

由于 $x$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $x$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \frac{1}{x} (x \int e^{u} d u)$

解题步骤 8.7

化简。

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解题步骤 8.7.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

解题步骤 8.7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = - \frac{x}{x} \int e^{u} d u$

解题步骤 8.7.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = - 1 \cdot 1 \int e^{u} d u$

解题步骤 8.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = - \int e^{u} d u$

解题步骤 8.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$f (x, y) = - (e^{u} + C)$

解题步骤 8.9

化简。

$f (x, y) = - e^{u} + C$

解题步骤 8.10

使用 $\frac{y}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}} + g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $- e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{y}{x}}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{\frac{y}{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [e^{\frac{y}{x}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 11.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{y}{x}$ 。

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.2.3

使用 $\frac{y}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (e^{\frac{y}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{y}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.4

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- (e^{\frac{y}{x}} (y \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- (e^{\frac{y}{x}} (y (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (e^{\frac{y}{x}} (y (x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.3.7

将 $e^{\frac{y}{x}}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$e^{\frac{y}{x}} (y x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{\frac{y}{x}} (y \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.2

合并项。

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解题步骤 11.5.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$e^{\frac{y}{x}} \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.2.2

组合 $e^{\frac{y}{x}}$ 和 $\frac{y}{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 11.5.4

将 $\frac{d g}{d x} + \frac{e^{\frac{y}{x}} y}{x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} - \frac{x + y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - (x + y e^{\frac{y}{x}})}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

合并 $y e^{\frac{y}{x}} - x - y e^{\frac{y}{x}}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1.4.1

从 $y e^{\frac{y}{x}}$ 中减去 $y e^{\frac{y}{x}}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.5.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1.5.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 12.1.1.5.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 13

求 $\frac{1}{x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 13.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$g (x) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - e^{\frac{y}{x}} + \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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