微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

解题步骤 1.3

约去 $\frac{1}{y^{2}} + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

化简分母。

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解题步骤 2.2.1.1.1

要将 $y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.2.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.3.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = y$ 。

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.3.4

化简。

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解题步骤 2.2.1.1.3.4.1

一的任意次幂都为一。

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.1.3.4.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ 。然后使 $d u = 3 y^{2} d y$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ 求导。

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = 1 + y$ 且 $g (y) = 1 - y + y^{2}$ 。

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

根据加法法则， $1 - y + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.8

根据加法法则， $1 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.2.2.1.3.9

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.2.2.1.3.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y]$ 相加。

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.12

将 $1 - y + y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4

化简。

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解题步骤 2.2.2.1.4.1

运用分配律。

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.2

运用分配律。

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.3

运用分配律。

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4

合并项。

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解题步骤 2.2.2.1.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.9

将 $- y$ 和 $2 y$ 相加。

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.10

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.11

将 $y + 2 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.12

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.13

将 $2 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 y^{2} + y^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.4.4.14

将 $2 y^{2}$ 和 $y^{2}$ 相加。

$3 y^{2}$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.2

将 $- y$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.6.1

移动 $y$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.6.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.7.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1.7.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.1.7.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.2.1

合并 $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.1.1.2.2.1.1

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.1.2

将 $1 + y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.1.3

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.1.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| 1 + y^{3} |)$ 。

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.2.3.1

约去公因数。

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2.3.2

重写表达式。

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ 。

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

解题步骤 3.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

解题步骤 3.5.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

解题步骤 3.5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

解题步骤 4.2

将 $e^{3 x + C}$ 重写为 $e^{3 x} e^{C}$ 。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

解题步骤 4.3

将 $e^{3 x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$

微积分学 示例

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