微积分学示例

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

解题步骤 1

使 $v = y^{3}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $y^{3}$ 。

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

解题步骤 2

通过对 $y^{3}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

将导数代回微分方程。

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解题步骤 3.1

约去 $3 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

解题步骤 4

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 4.1

从 $\frac{v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

解题步骤 4.2

将 $v$ 和 $\frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

解题步骤 5

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 5.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 5.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (x)}$

解题步骤 5.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$x$

解题步骤 6

每一项乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1

每一项乘以 $x$ 。

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $v$ 。

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

解题步骤 6.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

约去公因数。

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

解题步骤 6.2.2.2

重写表达式。

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

解题步骤 6.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

解题步骤 6.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

解题步骤 6.3.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

解题步骤 7

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

解题步骤 8

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

解题步骤 9

对左边积分。

$x v = \int x^{5} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

解题步骤 11

将 $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 11.1

将 $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.3

化简右边。

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解题步骤 11.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1.1

约去 $x^{6}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1.1.1

从 $\frac{1}{6} x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.3.1.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.3.1.1.2.3

约去公因数。

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.3.1.1.2.4

重写表达式。

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.3.1.1.2.5

用 $\frac{1}{6} x^{5}$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

解题步骤 11.3.1.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{5}$ 。

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

解题步骤 12

使用 $y^{3}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

解题步骤 13

求解 $y$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

解题步骤 13.2

化简 $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ 。

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解题步骤 13.2.1

要将 $\frac{x^{5}}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

解题步骤 13.2.2

要将 $\frac{C}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

解题步骤 13.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6 x$ 的形式。

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解题步骤 13.2.3.1

将 $\frac{x^{5}}{6}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

解题步骤 13.2.3.2

将 $\frac{C}{x}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

解题步骤 13.2.3.3

重新排序 $x \cdot 6$ 的因式。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

解题步骤 13.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

解题步骤 13.2.5

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.1

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

解题步骤 13.2.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

解题步骤 13.2.5.1.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

解题步骤 13.2.5.2

将 $6$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

解题步骤 13.2.6

将 $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

解题步骤 13.2.7

将 $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

解题步骤 13.2.8

合并和化简分母。

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解题步骤 13.2.8.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

解题步骤 13.2.8.2

对 $\sqrt[3]{6 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

解题步骤 13.2.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

解题步骤 13.2.8.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

解题步骤 13.2.8.5

将 ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ 重写为 $6 x$ 。

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解题步骤 13.2.8.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{6 x}$ 重写成 ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 13.2.8.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 13.2.8.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 13.2.8.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.8.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 13.2.8.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

解题步骤 13.2.8.5.5

化简。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

解题步骤 13.2.9

化简分子。

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解题步骤 13.2.9.1

将 ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

解题步骤 13.2.9.2

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

解题步骤 13.2.9.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

解题步骤 13.2.10

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

解题步骤 13.2.11

将 $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

解题步骤 14

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$

微积分学 示例

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