微积分学示例

$2 x^{2} d x + y^{2} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2 x^{2} d x$ 。

$y^{2} d y = - 2 x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int - 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - 2 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{- 2}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{2}{3} x^{3} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3} \cdot 2}{3} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$y^{3} = 3 (- \frac{2 x^{3}}{3} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

运用分配律。

$y^{3} = 3 (- \frac{2 x^{3}}{3}) + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.2.2.1

将 $- \frac{2 x^{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{3} = 3 \frac{- 2 x^{3}}{3} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2.2

约去公因数。

$y^{3} = 3 \frac{- 2 x^{3}}{3} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2.3

重写表达式。

$y^{3} = - 2 x^{3} + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- 2 x^{3} + 3 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{- 2 x^{3} + K}$

微积分学 示例

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