微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x + 4 y - 2$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$\frac{d y}{d x} - 4 y = x - 2$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 4 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- 4 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 4 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- 4 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- 4 x}$ 。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 2$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 2$

解题步骤 3.3

将 $- 2$ 移到 $e^{- 4 x}$ 的左侧。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x - 2 e^{- 4 x}$

解题步骤 3.4

将 $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x - 2 e^{- 4 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = x e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = x e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int x e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- 4 x} y = \int x e^{- 4 x} - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{- 4 x} y = \int x e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 4 x}$ 。

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.4

由于 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - (- \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.5.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.6

使 $u_{1} = - 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.6.1

设 $u_{1} = - 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.6.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 7.6.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 7.6.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 7.6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.7.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.7.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.8

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.9

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.10.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.10.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.11

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.12

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.13

使 $u_{2} = - 4 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.13.1

设 $u_{2} = - 4 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.13.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 7.13.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 7.13.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 7.13.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

解题步骤 7.14

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.14.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

解题步骤 7.14.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 7.15

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2})$

解题步骤 7.16

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 7.17

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + 2 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 7.18

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.18.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.18.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 (1)}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.18.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.18.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.18.2.2.2

约去公因数。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.18.2.2.3

重写表达式。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.19

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 7.20

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.20.1

化简。

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.20.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.20.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.20.2.2

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{x}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.21

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.21.1

使用 $- 4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.21.2

使用 $- 4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.22

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.23

重新排序项。

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x}}{4} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 8.1.3

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 4 x}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

将 $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 4 x}$ 。

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{- 4 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{1}{2} \cdot e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{e^{- 4 x}}{2} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.3

要将 $\frac{e^{- 4 x}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{e^{- 4 x}}{2} \cdot \frac{8}{8} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.4.1

将 $\frac{e^{- 4 x}}{2}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 8}{2 \cdot 8} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 8}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- e^{- 4 x} + e^{- 4 x} \cdot 8}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.6

将 $- e^{- 4 x}$ 和 $e^{- 4 x} \cdot 8$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.6.1

将 $e^{- 4 x}$ 和 $8$ 重新排序。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- e^{- 4 x} + 8 \cdot e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.6.2

将 $- e^{- 4 x}$ 和 $8 \cdot e^{- 4 x}$ 相加。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.7.1

要将 $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.7.2.1

将 $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + \frac{7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{- x e^{- 4 x} \cdot 4 + 7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.7.4.1

从 $- x e^{- 4 x} \cdot 4 + 7 e^{- 4 x}$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.7.4.1.1

从 $- x e^{- 4 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- x \cdot 4) + 7 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.4.1.2

从 $7 e^{- 4 x}$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- x \cdot 4) + e^{- 4 x} \cdot 7}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.4.1.3

从 $e^{- 4 x} (- x \cdot 4) + e^{- 4 x} \cdot 7$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- x \cdot 4 + 7)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.4.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x + 7)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.5

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x + 7)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.6

组合 $C$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x + 7)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x + 7) + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.7.8.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (- 4 x) + e^{- 4 x} \cdot 7 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{- 4 e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot 7 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.8.3

将 $7$ 移到 $e^{- 4 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 \cdot e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.7.8.4

将 $16$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.8

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.9

将 $\frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16}$ 乘以 $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ 。

$y = \frac{- 4 e^{- 4 x} x + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.10

从 $- 4 e^{- 4 x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x) + 7 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.11

从 $7 e^{- 4 x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x) - (- 7 e^{- 4 x}) + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.12

从 $- (4 e^{- 4 x} x) - (- 7 e^{- 4 x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x}) + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.13

从 $16 C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x}) - (- 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.14

从 $- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x}) - (- 16 C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.15

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.15.1

将 $- (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C)$ 重写为 $- 1 (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C)$ 。

$y = \frac{- 1 (4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.15.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.3.15.3

将 $- \frac{4 e^{- 4 x} x - 7 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = - \frac{4 x e^{- 4 x} - 7 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

微积分学 示例

微积分学示例