微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2} + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 (1 - x^{2}) + y^{2} \cdot (1 - x^{2})}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $1 - x^{2}$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + y^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2}))$

解题步骤 1.4

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$ 中分解出因数 $1 + y^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3

展开 $(1 + x) (1 - x) x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

运用分配律。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.2

运用分配律。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.3

运用分配律。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.4

运用分配律。

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x)) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.5

运用分配律。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.6

运用分配律。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + x \cdot 1 x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.7

将 $x$ 和 $1$ 重新排序。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.8

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} - 1 \cdot x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.9

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.10

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.12

提取负因数。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x \cdot x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{1} x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{1 - 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.15

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.16

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1} x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1 - 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.19

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.20

提取负因数。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x \cdot x) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.21

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.24

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3.25

提取负因数。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{2} x^{- 2}) d x$

解题步骤 2.3.3.26

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2 - 2} d x$

解题步骤 2.3.3.27

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{0} d x$

解题步骤 2.3.3.28

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 2.3.3.29

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 d x$

解题步骤 2.3.3.30

将 $- x^{- 1}$ 和 $x^{- 1}$ 相加。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 0 - 1 d x$

解题步骤 2.3.3.31

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.7

化简。

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} - x + C_{4}$

解题步骤 2.3.8

重新排序项。

$\arctan (y) + C_{1} = - x - \frac{1}{x} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = - x - \frac{1}{x} + K$

解题步骤 3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (- x - \frac{1}{x} + K)$

微积分学 示例

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